趣题用两枚硬币随机生成1到n之间的整数

　　来源：东方头条 日期： 09:5 :55 导读：为了随机地并且概率均等地生成一个 1 到 6 之间的整数，通常的做法就是抛掷一个正方体的骰子。不过，这并不是唯一的办法。

　　为了随机地并且概率均等地生成一个 1 到 6 之间的整数，通常的做法就是抛掷一个正方体的骰子。

　　不过，这并不是唯一的办法。如果你有一枚公正的、正反概率相同的硬币，以及一枚不公正的、正反概率之比为 1 : 2 的硬币，那么你也能概率均等地生成一个 1 到 6 之间的整数。

　　首先抛掷那枚不公正的硬币，那么结果有 1/ 的概率是正面朝上，有 2/ 的概率是反面朝上。

　　如果出现了正面朝上的情况，那么令 i = 1 ；

　　如果出现了反面朝上的情况，那么就再抛掷那枚公正的硬币，掷出正面则令 i = 2 ，掷出反面则令 i = 。

　　最后，再抛掷一次公正的硬币，如果正面朝上则令 j = 0 ，如果反面朝上则令 j = 。

　　容易看出， i + j 的值有 1, 2, , 4, 5, 6 这六种可能，它们出现的概率是均等的，都是 1/6 。

　　有人或许会说，用硬币模拟骰子哪有那么复杂，只用一枚公正的硬币就能办到：

　　连续抛掷三次硬币，并且规定掷出“正正正”代表数字 1 ，掷出“正正反”代表数字 2 ，“正反正”为 ，“正反反”为 4 ，“反正正”为 5 ，“反正反”为 6 ，掷出“反反正”和“反反反”则重来，这不就行了吗？

　　不过，这种方法有一个局限性：它不能保证整个过程在有限步之内完成。

　　而我们刚才的方法中，总的步骤数有一个上限：三步之内必然完成。

　　我们的问题是：是否对于所有的正整数 n ，都能找到两枚合适的硬币，使得借助它们便能在有限步之内概率均等地产生一个 1 到 n 之间的整数？

　　答案是肯定的。

　　接下来，我们将会构造性地证明，不管 n 是多少，我们总能使用正反出现概率分别为 1:1 和 1:(n-1) 的两枚硬币，在有限的步数内达成目的。

　　不妨先以 n = 11 时的做法为例，来说明我们的大致思路。

　　当 n = 11 时，首先把 1:1 的那枚硬币连续抛掷五次，这会出现 2 种等概率的正反组合，然后抛掷 1:10 的那枚硬币，出现正面和出现反面的概率分别为 1/11 和 10/11 。

　　抛完这六次硬币后，一共会产生 64 种不同的情况，其中 2 种情况出现的概率都是 (1/ 2) × (1/11) = 1/ 52 ，另外 2 种情况出现的概率则都是 (1/ 2) × (10/11) = 10/ 52 。

　　我们可以在一个单位正方形里直观地表示出这 64 种情况：

　　先用一系列横线把整个正方形划分成 2 个等宽横条，再在左起 1/11 的地方画一条竖线，把每个横条都分成 1:10 两份。

　　图中的这 64 个区域就对应着可能出现的 64 种情况，每个区域的面积占整个正方形的多少，就表示与之对应的情况出现的概率是多少。

　　我们可以把整个正方形看作是由 2 × 11 = 52 个小格子组成的，那么每个格子的面积都占整个正方形的 1/ 52 ，左边每个区域都只包含 1 个格子，右边每个区域则都包含 10 个格子。

　　如果我们能把某些区域指派给数字 1 ，把另一些区域指派给数字 2 ，等等，最后把剩下的区域指派给 11 ，使得分给每个数字的区域都包含 2 个格子，即都占正方形总面积的 1/11 的话，问题就解决了。

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